그대로 있을 때
1 N
처음 고른 문의 확률은 사회자가 문을 연 뒤에도 변하지 않습니다.
왜 그런가
확률은 사라지지 않고 옮겨 갑니다.
사회자는 내가 고른 문과 당첨 문을 피해서 문을 엽니다. 이 제약 때문에 고르지 않은 쪽의 확률이 아직 닫힌 문에 남습니다.
현재 조건: 문 3개 · 사회자 공개 1개 · 그대로 33.33% · 문 하나당 바꾸기 66.67%
바꿀 수 있는 문 하나당
N − 1 N (N − k − 1)
- N
- 전체 문 개수
- k
- 사회자가 여는 문 개수
- N − k − 1
- 바꿀 수 있는 문 개수
고르지 않은 문들의 확률을 사회자가 열지 않은 문들이 똑같이 나눠 갖습니다.
조건은 N ≥ 3, 0 ≤ k ≤ N − 2입니다.
세 걸음으로 보기
01 · 모든 문에서 같은 확률로 시작합니다
처음에는 어느 문이든 1/N입니다. 하나를 고르면 그 문은 이 확률을 그대로 유지합니다.
닫힌 문 세 개가 같은 확률을 갖고 있습니다.
02 · 사회자는 정답과 내 선택을 피합니다
사회자는 당첨 문과 내가 고른 문을 열지 않습니다. 이 제약에 따라 열린 문이 오답이라는 정보가 생깁니다.
내가 고른 문은 표시되어 있고, 사회자가 오답 문 하나를 열었습니다.
03 · 남은 문들이 확률을 나눠 갖습니다
고르지 않은 쪽의 확률은 아직 닫힌 문들에 균등하게 남습니다. 처음 고른 문의 확률은 그대로입니다.
처음 고른 문과 바꿀 수 있는 문이 남았고, 바꿀 문이 강조되어 있습니다.
사회자가 마지막 한 짝만 남길 때
문 N 공개 k 그대로 바꾸기
3 1 33.33% 66.67%
10 8 10.00% 90.00%
100 98 1.00% 99.00%
1000 998 0.10% 99.90%
경계 두 가지
사회자가 아무 문도 열지 않으면
N = 3, k = 0 → 그대로 33.33% · 바꾸기 33.33%새 정보가 없고 바꿀 수 있는 문도 처음 고른 문과 같은 확률을 가지므로 두 선택은 동률입니다.
일부만 열면 확률이 여러 문에 나뉩니다
N = 10, k = 4 → 그대로 10.00% · 문 하나당 바꾸기 18.00%고르지 않은 쪽의 90.00%를 바꿀 수 있는 문 5개가 나눠 가지므로, 문 하나당 확률은 18.00%입니다.